5.4 Length and Area - 核心要点总结
1. 核心公式
- 两点间距离： \( d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \)；
- 三角形面积（底×高法）： \( S = \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} \)。
关键公式：
• 距离公式：\( d = \sqrt{\Delta x^2 + \Delta y^2} \)
• 面积公式：\( S = \frac{1}{2} \times b \times h \)
2. 解题步骤
- 两点间距离：直接代入公式，注意"坐标差的平方"会消除符号影响，无需考虑正负；
- 坐标三角形面积：
① 求顶点坐标（联立直线方程或利用已知点）；
② 选"水平/垂直边"为底，计算底长；
③ 计算对应高的长度；
④ 代入面积公式。
3. 思想方法
数形结合：
- 通过坐标系画图辅助理解点、直线的位置关系，将几何问题转化为代数计算；
- 利用图形可视化帮助理解距离和面积的几何意义。
转化思想：
- 将"三角形面积"转化为"底和高的乘积"，将"直线交点"转化为"方程的解"；
- 将复杂的几何关系分解为简单的代数运算步骤。
4. 易错点分析
距离公式中忽略平方运算的"消负性"：
- 错误：纠结坐标差的正负；
- 正确：平方运算会消除符号影响，无需考虑正负。
三角形底和高选择不当：
- 错误：随意选择底边导致计算复杂；
- 正确：优先选择水平或垂直边作为底，简化高度计算。
联立直线方程求交点时计算错误：
- 错误：带分数或负数运算时出错；
- 正确：仔细处理符号和分数运算，确保代入正确。
5. 知识点梳理
距离计算技巧：
- 两点距离：直接代入公式，注意坐标差的平方
- 特殊情况：垂直距离（x坐标相同）或水平距离（y坐标相同）
- 点到直线距离：公式 \( d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \)
面积计算技巧：
- 三角形面积：底×高法，选择合适的底边
- 多边形面积：鞋带公式或分割为三角形
- 直线围成面积：求交点，计算三角形面积
6. 应用场景
- 几何应用： 求线段长度、三角形面积、图形周长
- 物理应用： 位移距离、受力分析、路径规划
- 工程应用： 建筑设计、测量计算、优化布局
- 计算机图形学： 像素距离、图像面积、碰撞检测